ベクトルの分解とは何かを誰でもわかるように解説

ベクトルの分解とは、簡単に言うと「任意のベクトルを、基準となる2本のベクトルの掛け算と和で表すこと」です。

こう聞くと、「なぜわざわざそんな面倒なことをするのか？」と疑問に思うかもしれません。しかしベクトルの分解は線形代数において非常に重要なコンセプトです。なぜならこれは「線型結合」や「ベクトルの独立」といった概念を理解するための基礎となるからです。

そのため是非ここでベクトルの分解についてしっかりと理解しておきましょう。なお理解を確認するための簡単な練習問題もありますので、ぜひあわせてご活用ください。

1. ベクトルの分解とは

まずは以下の1分29秒のアニメーションを、ぜひご覧ください。ベクトルの分解というものを視覚的に理解することができます。

以上がベクトルの分解です。

念のため文字でも解説して起きます。内容は上のアニメーション解説と同じですが、確認のためにご覧いただくと良いでしょう。

２次元ベクトルの分解

まず以下のベクトル $\vec{v}$ があるとします。

このベクトル $\vec{v}$ の各座標は、それぞれ長さが$1$の水平ベクトル $\hat{\imath}$ (アイハット) と垂直ベクトル $\hat{\jmath}$ (ジェイハット) の掛け算と和で求めることができます。

まず、ベクトル $\vec{v}$ の $x$ 座標は $\hat{\imath}$ を $3$倍するスカラーであり、$y$ 座標は $\hat{\jmath}$ を $-2$倍するスカラーであると考えることができます。（ベクトルの掛け算（スカラー倍）については『ベクトルの掛け算とは何か？幾何学的な意味と計算方法の解説』で解説しています）。

そして、ベクトル $\vec{v}$ はこうしてスカラー倍した $3\hat{\imath}$ と $-2\hat{\jmath}$ の和で表すことができます（ベクトルの和については『ベクトルの和とは何か？誰でもわかる幾何学的な意味と計算方法の解説』をご確認ください）。

このようにベクトル $\vec{v}$ を、「 $\vec{v}=(3)\hat{\imath}+(-2)\hat{\jmath}$」にするのがベクトルの分解です。

３次元ベクトルの分解

次に以下の3次元ベクトル $\vec{v}$ を分解してみましょう。

2次元ベクトルの分解では2つのベクトル $\hat{\imath}$ と $\hat{\jmath}$ を使いましたが、3次元ベクトルではもう1つ $\hat{k}$ が必要になります。

この3つのベクトルがあるとしたら、ベクトル $\vec{v}$ の $x$ 座標は $\hat{\imath}$ を $-2$ 倍するスカラーであり、$y$ 座標は $\hat{\jmath}$ を $-3$ 倍するスカラーであり、$z$ 座標は $\hat{k}$ を $2$ 倍するスカラーであると考えることができます。

そして、ベクトル $\vec{v}$ はこうしてスカラー倍した $-2\hat{\imath}$ と $-3\hat{\jmath}$ と $2\hat{k}$ の和で表すことができます。

このように、この3次元ベクトル $\vec{v}$ は「$\vec{v}=(-2)\hat{\imath}+(-3)\hat{\jmath}+2\hat{k}$」と分解することができます。

2. 練習問題

２次元ベクトルと３次元ベクトルの分解について、練習問題を用意しておきますので、ぜひ一度は解いてみてください。

3. まとめ

以上がベクトルの分解です。とても単純ですが、これから線形代数の学習を進めていく上で非常に重要な基礎となる知識です。しっかりと抑えておきましょう。