cos の積分はなぜ sin？積分と微分がよりよく分かるようになる解説

cos の積分は sin になります。なぜなら、積分は微分の反対であり、sin を微分すると cos になるからです。とは言っても、これだけで終わってしまっては、あまりにも事務的であり、数学に触れていることにはなりません。

そこで、このページでは、なぜこうなるのかを、誰でも直感的に理解できるように詳しく解説していきます。読み進めていただくと、積分や微分というものが、より深くわかるようになるので、ぜひご覧ください。

1. cos の積分は sin

定義上、積分と微分は正反対の演算です。つまり微分をしたら $\cos(x)$ になる関数である $\sin(x)$ が積分です。

それでは、なぜこうなるのでしょうか？

その理由は「積分は微分の反対だから」なのですが、ただ、これを鵜呑みにしているだけでは、積分の本質を理解していることにはなりません。そこで、この点について、より深く、かつ直感的に理解できるように解説しておきたいと思います。

2. なぜ cos の積分は sin になるのか

まず「積分とは何か」で、「関数 $f(x)$ にとっての積分 $F(x)$とは、面積を求めるための掛け算であり、関数 $F(x)$ にとっての微分 $f(x)$ とは、高さを求めるための割り算である」ということをお伝えしました。

そして「sin の積分はなぜ -cos ？積分と微分の関係を誰でもわかりるように解説」では、同じことを、任意の区間における $f(x)$ の平均値と $F(x)$ の傾きの関係を使って別視点から解説しました。

積分を深く直感的に理解したいという場合は、以上の２つのページは必ず読み込んでおいてください。ここからは、これらについて理解している前提で、$\cos(x)$ の積分を視覚的に確認していきましょう。

2.1. cos の平均値は sin の傾きと等しい

まずは以下の画像をご確認ください。これは [$\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$] の間の $\cos(x)$ の面積と平均値を示しているものです。

解説します。

ご覧の通り、$\cos(x)$ の不定積分は $\sin(x)$ なので、「微分積分学の基本定理」より、面積 $\int^{\frac{3\pi}{2}}_{\frac{\pi}{2}}\cos(x)dx$ は次のように求められます。

そして同区間の平均値（高さの平均）は、この面積から区間の範囲を割ることで求められます。

ポイントは、[$\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$] 間の $\cos(x)$ の平均値（高さの平均）は、その不定積分 $\sin(x)$ の傾きと同じ値になるという点です。

2.2. cos の値は sin の微分の値と等しい

さて、「微分とは何か」で解説した通り、微分とは接線の傾きです。ということは、ここまでは [$\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$] 間を見てきましたが、この区間を [$a, a+dx$] というように狭くすると、$\cos(x)$ の平均値（=高さ）が、その不定積分である $\sin(x)$ の微分と同じ値になることがわかります。

以下の画像でご確認ください。

この通り、積分や微分を求めるときのように、$dx$ の値を $0$ に近づけていくと（範囲を狭めていくと）、$\cos(x)$ と $\sin(x)$ がお互いに積分と微分の関係であることがわかりますね。

3. cosの積分のまとめ

以上が、$\cos(x)$ の積分が $\sin(x)$ であり、$\sin(x)$ の微分が $\cos(x)$ であることの視覚的な証明です。

ぜひ、しっかりと理解できるように何度も読み返してみてください。また、その際は、『積分とは何か？最もわかりやすく簡単に理解できるように解説』と『sin の積分はなぜ -cos ？積分と微分の関係を誰でもわかりるように解説』も読み返すようにすると理解がより深まるでしょう。

参考にして頂ければ嬉しく思います。