逆関数の微分を誰でも理解できるように視覚的に解説

2021 4/24

2021年4月21日 2021年4月24日

当ページでは逆関数の微分公式と、その証明を誰でもわかるように視覚的に解説しています。具体的には、以下のことがわかります。

逆関数とは何か・書き方・求め方
逆関数の微分公式
逆関数の微分公式の証明

ぜひ、参考にして頂ければと思います。

1. 逆関数

まず逆関数について簡単におさらいしておきましょう。ここでは、次の３点について振り返ります。

逆関数とは何か
逆関数の表記方法
逆関数の求め方

さっそく見ていきましょう。

1.1. 逆関数とは

逆関数とは、簡単に言うと「ある関数から出てきた出力値を受け取って、元々の入力値を返す関数」のことです。言い換えると「出力値を入力値に戻す関数」、もっと簡単に言うと「元に戻す関数」です。

例えば関数 $f(x)=x^3$ の出力値を、その逆関数 $g(y)=\sqrt[3]{y}$ に入力すると、以下のように元々の入力値である $x$ が出力されます。

関数と逆関数の関係

\[
g(f(x))=x
\]

\[\begin{eqnarray}
2
\xrightarrow{入力}
\fbox{$x^3$}
\xrightarrow{出力}
&8&
\xrightarrow{入力}
\fbox{$\sqrt[3]{x}$}
\xrightarrow{出力}
2\\
3
\xrightarrow{入力}
\fbox{$x^3$}
\xrightarrow{出力}
&27&
\xrightarrow{入力}
\fbox{$\sqrt[3]{x}$}
\xrightarrow{出力}
3\\
&\vdots&\\
x
\xrightarrow{入力}
\fbox{$x^3$}
\xrightarrow{出力}
&x^3&
\xrightarrow{入力}
\fbox{$\sqrt[3]{x}$}
\xrightarrow{出力}
x\\
\end{eqnarray}\]

これが関数と逆関数の関係です。

そして重要な点として、関数と逆関数は、視覚的には $y=x$ を挟んで対称という関係になっています。

以上が逆関数です。

1.2. 逆関数の表記

あらためて逆関数の表記方法を確認しておきましょう。

関数 $y=f(x)$ があるとき、その逆関数は $y$ を $x$ に戻すものなので、$x=g(y)$ と表します。そして、これが $f(x)$ の逆関数であることを強調したい場合は $f^{-1}(x)$ と表します。

逆関数の表記

\[
g(y) \ \ \ or \ \ \ f^{-1}(x)
\]

とても紛らわしいのですが、この $^{-1}$ は、べき乗を表しているのではなく、逆関数であることを表しています。

特に混乱しがちなのが、三角関数の逆関数です。例えば、$\sin^{-1}(x)$ は、べき乗の $\frac{1}{\sin(x)}$ ではなく、逆三角関数の $\arcsin(x)$ を表しています。逆三角関数を扱う際は、この点に惑わされないように注意しましょう。

1.3. 逆関数の求め方

上でお伝えした通り、関数 $y=f(x)$ の逆関数は $x=g(y)$ になります。まさにこの関係性から、逆関数を求めることができます。

例として $y=x^3$ の逆関数を求めてみましょう。

逆関数は、この出力値の $y$ を入力値の $x$ に戻すものなので、以下の通りになります。

逆関数の求め方①

\[\begin{eqnarray}
y=x^3 \ &\longrightarrow& \ x^3=y\\
&\longrightarrow& \ x=\sqrt[3]{y}
\end{eqnarray}\]

このままでも良いのですが、通常は以下のように $y$ と $x$ を入れ替えて、$x$ の関数の形にします。

逆関数の求め方② $x$ と $y$ を入れ替える

\[x=\sqrt[3]{y} \ \longrightarrow \ y=\sqrt[3]{x}\]

以上が逆関数の求め方です。

2. 逆関数の微分公式

それでは、ここから逆関数の微分公式を見ていきましょう。

本来は、逆関数そのものが分かっていれば、その微分は、普通の微分公式で求めることができます。例えば、$f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ の微分は、べき乗の微分公式を使って次のように求められます。

\[\begin{eqnarray}
(\sqrt[3]{x})^{\prime}&=&
(x^{\frac{1}{3}})^{\prime}&=&
\dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}&=&
\dfrac{1}{3 \sqrt[3]{x}^2}
\end{eqnarray}\]

しかし、ときには、逆関数を微分するよりも、元の関数から逆関数の微分を求める方が楽な場合があります。そのようなときに使うのが、以下の逆関数の微分公式です。

逆関数の微分公式

\[\begin{eqnarray}
g^{\prime}(y)
&=&
\dfrac{dg}{dy}\\
&=&
\dfrac{1}{f^{\prime}(x)}\\
&=&
\dfrac{1}{\frac{dx}{dy}}
\end{eqnarray}\]

なお、この微分公式で求められるのは、逆関数を $y$ について微分したもの $\frac{dg}{dy}$ です。そのため通常は、これで得られる解を、$x$ について微分したものに変換します。

例えば、$x^3$ の逆関数の微分を、逆関数の微分公式で解くと次のようになります。

公式から $y=x^3$ の逆関数の微分を求める①

\[\begin{eqnarray}
g^{\prime}(y)
&=&
\dfrac{dg}{dy}
&=&
\dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}
&=&
\dfrac{1}{3x^2}
\end{eqnarray}\]

ここで $y=x^3$ であることから、$g(y)$ は以下のように $g(x^3)$ であることを表します。

\[\begin{eqnarray}
g^{\prime}(y)
&=&
g^{\prime}(x^3)
=
\dfrac{1}{3x^2}
\end{eqnarray}\]

そのため、これを $g(x)$ の形に戻すために、両辺の $x$ を立方根します。

\[\begin{eqnarray}
g^{\prime}(\sqrt[3]{x^3})
&=&
\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x}^2}\\
\rightarrow
g^{\prime}(x)
&=&
\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x}^2}
\end{eqnarray}\]

以上。

このように、最後に $g^{\prime}(y)$ を $g^{\prime}(x)$ のかたちに変換することを忘れないようにしましょう。

もう一つ $y=e^x$ の逆関数の微分を求めてみましょう。以下の通りです。

公式から $y=e^x$ の逆関数の微分を求める

\[\begin{eqnarray}
g^{\prime}(y)
&=&
\dfrac{1}{(e^x)^{\prime}}\\
&=&
\dfrac{1}{e^x}\\
\end{eqnarray}\]

$y=e^x$ から $x=\log_{e}y$ なので、$x$ を $\log_{e}x$ に変換することで、$g^{\prime}(y)$ を $g^{\prime}(x)$ の形に変換できる。

\[\begin{eqnarray}
g^{\prime}(x)
&=&
\dfrac{1}{e^{\log_e{x}}}\\
&=&
\dfrac{1}{x}
\end{eqnarray}\]

以上。

なお指数関数と対数関数の微分については、それぞれ以下のページで解説しています。

さて、それでは、なぜこの公式で逆関数の微分を求められるのでしょうか。次にこの点について考えてみましょう。

3. 逆関数の微分公式の証明

逆関数の微分公式を理解するには、まず、逆関数の性質を思い出す必要があります。

その性質とは、関数 $y=f(x)$ と逆関数 $x=g(y)$ があるとき、関数 $f(x)$ の座標が $(x,y)$ だとしたら、逆関数 $g(y)$ の座標は $(y,x)$ になるというものです。

下図で確認しましょう。

このことから、元の関数 $y=f(x)$ において、$x$ の値が $dx$ 変化すると逆関数の高さが $dx$ 変化し、それによって $y$ の値が $dy$ 変化すると逆関数の長さが $dy$ 変化することがわかります。以上のことから逆関数の微分 $g^{\prime}(y)$ は、$\frac{dx}{dy}$ で計算できることになります。

このことは下図を見ていただくとわかりやすいでしょう。