積分– category –

当ページでは知っておくべき積分の公式を６＋１つの合計７つ解説します。 プラス１となっているのは、最後の公式は、他の公式を理解していれば簡単に導き出すことができるため、必須ではないからです。しかし質問されることも多いため、ここに含めています...

分数関数の積分は、何だか複雑なものに見えてしまうかもしれません。しかし、それは体系立てて解説しているものがほとんどないだけであって、本当は、ここまで一つずつ積分を学んできた方であれば、とても簡単に求めることができます。 なぜなら、置換積分...

置換積分は、合成関数の積分を求めるために非常に役立つ公式であり、合成関数の微分と対になるものになっています。積分を行う上で必要なものなので、ここでしっかりと理解しておきましょう。 それでは早速始めたいと思います。 【1. 置換積分の公式】 置...

部分積分法は、関数の積を積分したいときに使う公式です。そして、積分は微分の逆演算であるため、部分積分法は積の微分公式の逆演算ということになります。 このページでは、この部分積分法について詳しく解説していきます。 【1. 部分積分法】 部分積分...

関数 1/x は、微積分に重要な４つの関数（ベキ乗関数・三角関数・指数関数・対数関数）のうちのベキ乗関数に当たるものであり、現実世界の現象の中に特によく現れる関数（y=ax・y=x^2・ y=1/x・ y=sin x）の１つでもあります。 面白いものを挙げると、私た...

対数関数は、微積分に重要な４つの関数（ベキ乗関数・三角関数・指数関数・対数関数）のうちの一つであり、例えば次のような自然現象に現れる関数です。 水素イオンの指数を示すpH騒音の程度を示すフォーン地震の強さを示すマグニチュード星の明るさを示す...

指数関数は、微積分に重要な４つの関数（ベキ乗関数・三角関数・指数関数・対数関数）のうちの一つであり、複利金利・情報伝達・失敗情報の伝達（逆数）・蓮の葉の増殖・細胞分裂といった様々な現実世界の現象を表していることで有名です。 ここでは、この...

ベキ乗関数（特に y=x^2）は、基本中の基本の関数であり、現実世界のあらゆる現象に出てきます。例えば、放物線運動・焼肉の熱の通り具合・血圧と血管断面積の関係・ランチェスターの法則（戦力差モデル）などなど、実例を挙げようとすると枚挙にいとまが...

tan の積分は -log|cos(x)| になります。ここでは、なぜこうなるのかについて、イメージによって直感的に理解する方法と、数式によって理解する方法の２通りを解説します。 微積分に対する本質的な理解を得るための助けとなりますので、ぜひご覧頂ければと...

微分積分学において、三角関数は、べき乗関数・指数関数・対数関数と並んで、理解しておくべき4つの関数の一つです。 試験問題では、何やら複雑な関数をたくさん見せられるので、「たった4つだけ？」と思われるかもしれません。実は、試験問題に出てくるよ...

cos の積分は sin になります。なぜなら、積分は微分の反対であり、sin を微分すると cos になるからです。とは言っても、これだけで終わってしまっては、あまりにも事務的であり、数学に触れていることにはなりません。 そこで、このページでは、なぜこう...

sin の積分は -cos になります。それでは、なぜそうなるのでしょうか？ここでは、この理由について誰でも深く理解できるように詳しく解説していきます。読み進めていただくと、なぜ積分は微分の反対なのか、という点も直感的に理解できるようになりますの...